Phép cộng là gì? Trong phép cộng x được gọi là gì mới nhất 2022 | LADIGI

3 + 2 = 5 quả táo, một ví dụ phổ biến trong sách giáo khoa^[1]

Phép cộng (thường được biểu thị bằng ký hiệu cộng “+”) là một trong bốn phép toán cơ bản của số học cùng với phép trừ, nhân và chia. Kết quả của phép cộng hai số tự nhiên là giá trị tổng của hai số đó. Ví dụ trong hình bên cho thấy rằng ba quả táo và hai quả táo được gộp lại tạo thành tổng gồm năm quả táo, cũng như với biểu thức toán học “3 + 2 = 5” hay “3 cộng 2 bằng 5″.

Cùng với phép đếm, phép cộng có thể được định nghĩa và thực hiện không thông qua những đối tượng chi tiết mà chỉ thông qua một khái niệm trừu tượng được gọi là số, chẳng hạn như số nguyên, số thực và số phức. Phép cộng thuộc về số học, một nhánh của toán học. Trong đại số, một nhánh khác của toán học, phép cộng cũng có khả năng được thực hiện trên các khái niệm trừu tượng khác, chẳng hạn như vectơ và ma trận.

Phép cộng có một số tính chất quan trọng. Nó có tính giao hoán, nghĩa là không phụ thuộc vào vị trí của các số được cộng, và có tính kết hợp, nghĩa là khi cộng thường xuyên hơn hai số thì thứ tự thực hiện phép cộng không làm thay đổi ngay kết quả. Phép cộng lặp lại số 1 giống với phép đếm; phép cộng một số với số 0 cho kết quả là chính số đó. Phép cộng cũng tuân theo một vài nguyên tắc liên quan đến các phép toán khác như phép trừ và phép nhân.

Thực hiện phép cộng là một trong những công việc đơn giản nhất về số. Trẻ mới chập chững biết đi dễ tiếp cận với phép cộng các số rất nhỏ; phép cộng cơ bản nhất, 1 + 1, có khả năng thực hiện được bởi trẻ sơ sinh nhỏ đến năm tháng tuổi và một vài cá thể các loài động vật khác. Trong giáo dục tiểu học, học sinh được dạy cộng các số trong hệ thập phân, bắt đầu từ một chữ số và cải thiện dần lên giải quyết những bài toán khó hơn. Có thường xuyên công cụ cơ học hỗ trợ tính cộng, từ bàn tính cổ đại đến máy tính hiện đại, trong khi việc nghiên cứu về các cách thực hiện phép cộng hiệu quả nhất vẫn còn tiếp tục cho đến ngày nay.

Ký hiệu và thuật ngữ

Dấu cộng

Phép cộng được viết bằng dấu cộng “+” giữa hai số được cộng; tức là trong ký hiệu trung tố. Kết quả được biểu thị sau dấu bằng. Ví dụ:

1 + 1 = 2

displaystyle 1+1=2

(“một cộng một bằng hai”)

2 + 2 = 4

displaystyle 2+2=4

(“hai cộng hai bằng bốn”)

1 + 2 = 3

displaystyle 1+2=3

(“một cộng hai bằng ba”)

5 + 4 + 2 = 11

displaystyle 5+4+2=11

(xem phần “kết hợp” bên dưới)

3 + 3 + 3 + 3 = 12

displaystyle 3+3+3+3=12

(xem phần “nhân” bên dưới)

Phép cộng theo cột – các số trong cột là số được cộng vào và tổng được ghi dưới dấu gạch ngang.

Có một vài trường hợp phép cộng được “hiểu” dù không có ký hiệu nào xuất hiện:

• một số nguyên đứng ngay trước một phân số cho biết tổng của hai số và được gọi là hỗn số.^[2] Ví dụ:

3½ = 3 + ½ = 3,5.

Ký hiệu này có khả năng gây nhầm lẫn vì trong đa số trường hợp khác, hai số đặt liền kề nhau biểu thị phép nhân.^[3]

Tổng của một chuỗi các số có khả năng được biểu diễn bằng ký hiệu sigma, một ký hiệu để biểu thị ngắn gọn phép lặp. Ví dụ:

 

∑

k = 1

5

k

2

=

1

2

+

2

2

+

3

2

+

4

2

+

5

2

= 55.

displaystyle sum _k=1^5k^2=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55.

Trong tiếng Việt, số (hoặc vật) được cộng thêm vào trong phép cộng thông thường được gọi chung là số hạng,^[4] còn trong tiếng Anh, chúng có khả năng được gọi là term,^[5]addend^[6][7] hoặc summand.^[8] Các ngôn từ này cũng áp dụng được cho phép lấy tổng của thường xuyên số và dùng để phân biệt với thừa số, tức là các số được nhân lại với nhéu. một số tác giả còn gọi tên số hạng đầu tiên là augend.^[6][7] Thực tế, trong thời Phục Hưng, nhiều tác giả thậm chí còn không thừa nhận số hạng đầu tiên là addend. Ngày nay, do tính giao hoán của phép cộng nên từ augend rất hiếm khi được dùng và các số hạng đều đặn được gọi là addend.^[9]

Tất cả các ngôn từ trên đều đặn có nguồn gốc từ tiếng Latinh. Từ addition và add trong tiếng Anh đến từ động từ tiếng Latinh addere. Từ addere là từ ghép gồm hai âm tiết: ad nghĩa là “đến” và dare nghĩa là “cho” (đến từ gốc từ Ấn-Âu nguyên thủy *deh₃- có nghĩa là “cho”), nên add có nghĩa là “cho vào”.^[9] Thêm vào hậu tố động danh từ -nd thì được từ addend nghĩa là “thứ được cộng vào”.^[a] Tương tự, từ động từ augere (“tăng”) ta có từ augend (“thứ được tăng lên”).

Mọi Người Xem :   Đặc điểm ăn khớp của bánh răng trụ răng nghiêng

Phần minh họa từ The Art of Nombryng, một trong số những sách giáo khoa số học tiếng Anh đầu tiên vào thế kỷ 15.^[10]

Sum và summand có từ danh từ tiếng Latinh summa nghĩa là “đỉnh, điểm cao nhất” và động từ tương ứng summare. Điều đó thích hợp không những vì tổng của hai số dương lớn hơn chính hai số đó, mà còn do quan niệm của người Hy Lạp cổ đại và La Mã cổ đại là cộng về phía trên, trái ngược với thực tế hiện đại là cộng về phía dưới, Vì vậy một tổng lớn hơn các số hạng theo nghĩa đen.^[11] Từ addere và summare xuất hiện sớm nhất từ thời Boethius nếu không phải từ một vài tác giả La Mã trước thời của ông như Vitruvius và Frontinus; Boethius còn có thêm một số thuật ngữ khác để chỉ phép cộng. Từ adden và adding trong tiếng Anh trung đại do Chaucer thường nhật.^[12]

Dấu cộng “+” (Unicode: U+002B; ASCII: +) là viết tắt của từ Latinh et có nghĩa là “và”.^[13] Nó có trong các công trình toán học có niên đại ít nhất là từ năm 1489.^[14]

✅ Mọi người cũng xem : tiểu thuyết hiện đại là gì

Giải thích

Phép cộng được dùng để mô hình hóa thường xuyên quy trình vật lý. Ngay cả đối với trường hợp cộng số một cách tự nhiên, có thường xuyên cách giải thích khả dĩ và miêu tả trực quan.

✅ Mọi người cũng xem : quyền bính là gì

Hợp các tập hợp

Minh họa phép cộng 3 + 2 = 5 khi hợp các tập hợp

Cách giải thích phép cộng cơ bản nhất có khả năng đến từ việc hợp các tập hợp lại với nhau:

• Khi hai hay thường xuyên tập hợp rời rạc được kết hợp lại thành một tập hợp duy nhất, số đối tượng trong tập hợp mới bằng tổng số đối tượng có trong các tập hợp ban đầu.

Giải thích này dễ hình dung, rõ ràng và hữu ích với toán học nâng cao; về định nghĩa chính xác chịu tác động từ nó, xem mục Số một cách tự nhiên bên dưới. tuy nhiên, không rõ người ta phải mở rộng dạng phép cộng này như thế nào để bao gồm cả phân số và số âm.^[15]

có khả năng khắc phục bằng cách xét các đối tượng trong tập hợp dễ phân chia, chẳng hạn như cái bánh hoặc thậm chí là vài thanh ngắn phân nhỏ. Ở đây có khả năng nối đầu của các thanh này lại, tức là đã minh họa một khái niệm khác về phép cộng: không phải cộng trực tiếp các thanh mà là cộng độ dài của chúng.^[16]

✅ Mọi người cũng xem : ý nghĩa tên ngọc duy

Mở rộng độ dài

Minh họa phép cộng đại số 2 + 4 = 6 trên trục số. Lần lượt dịch chuyển 2 đơn vị rồi 4 đơn vị thì kết quả giống như khi dịch chuyển 6 đơn vị.

Minh họa phép cộng một ngôi 2 + 4 = 6 trên trục số. Một lần dịch chuyển 4 đơn vị cũng như với bốn lần dịch chuyển 1 đơn vị.

Một cách giải thích thứ hai về phép cộng đến từ việc kéo dài một độ dài ban đầu thêm một độ dài cho trước:

• Khi một độ dài ban đầu được kéo dài thêm một khoảng nhất định thì độ dài cuối cùng là tổng của độ dài ban đầu và độ dài của phần mở rộng đó.^[17]

Tổng a + b có khả năng được hiểu là một phép toán hai ngôi kết hợp a và b, theo nghĩa đại số, hoặc nó cũng có khả năng được hiểu là cộng thêm b đơn vị vào a. Theo cách hiểu thứ hai, các phần trong tổng a + b đóng vai trò bất đối xứng và phép toán a + b được xem là áp dụng phép toán một ngôi +b vào a.^[18] Thay vì gọi chung cả a và b là số hạng, sẽ phù hợp hơn khi gọi a là số hạng thứ nhất (augend), vì a đóng vai trò thụ động. Cách nhìn này cũng có ích khi bàn về phép trừ, vì mỗi phép toán cộng một ngôi có một phép toán trừ một ngôi nghịch đảo và ngược lại.

✅ Mọi người cũng xem : tín hiệu 4 20ma là gì

Tính chất

Giao hoán

4 + 2 = 2 + 4 (khối gạch)

Phép cộng có tính giao hoán, nghĩa là có khả năng thay đổi vị trí các số hạng trong một phép cộng nhưng kết quả vẫn như nhéu. Với a và b là hai số bất kỳ thì

a + b = b + a.

một số phép toán hai ngôi khác (chẳng hạn như phép nhân) cũng có tính giao hoán, nhưng thường xuyên phép toán khác (trong đó có phép trừ và phép chia) không có tính chất này.

Kết hợp

2 + (1 + 3) = (2 + 1) + 3 (thanh chia phần)

Phép cộng có tính kết hợp, nghĩa là khi cộng ba hay thường xuyên số thì thứ tự của phép toán không làm thay đổi ngay kết quả.

Chẳng hạn, với ba số a, b và c bất kỳ thì biểu thức a + b + c nên được định nghĩa như thế nào để có nghĩa là (a + b) + c hay a + (b + c)? Thực tế, do tính chất kết hợp của phép cộng nên hai cách hiểu này là giống nhau, hay (a + b) + c = a + (b + c). Ví dụ, (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3).

Khi phép cộng được dùng chung với các phép toán khác, thứ tự của phép toán trở nên quan trọng: phép cộng có cấp độ ưu tiên ngang với phép trừ và thấp hơn lũy thừa, căn bậc n, phép nhân và phép chia.^[19]

Phần tử đơn vị

5 + 0 = 5 (túi dấu chấm)

Khi cộng một vài bất kỳ với số 0 thì số đó không thay đổi; 0 là phần tử đơn vị được cộng vào và còn được gọi là đơn vị cộng. Với a bất kỳ,

a + 0 = 0 + a = a.

Định luật này lần đầu tiên được xác định trong Brāhmasphuṭasiddhānta của Brahmagupta năm 628 dù ông không viết bằng ký hiệu đại số và chia thành ba trường hợp tùy thuộc vào a là số dương, số âm hoặc số 0. Các nhà toán học Ấn Độ về sau đã tinh chỉnh khái niệm này; vào khoảng năm 830, Mahavira viết “số 0 trở thành một thứ giống như những gì được thêm vào nó”, tương ứng với phép toán một ngôi 0 + a = a. Thế kỷ 12, Bhaskara viết “Trong phép cộng cipher [số 0] hoặc phép trừ cho nó, một số dương hay âm vẫn được giữ như cũ”, tương ứng với phép toán một ngôi a + 0 = a.^[20]

Đơn vị

Để cộng các đại lượng vật lý có đơn vị đo thì chúng phải được thể hiện bằng cùng một đơn vị.^[21] Ví dụ, cộng 50 mililít vào 150 mililít thì được 200 mililít. tuy nhiên, nếu độ dài 2 mét được kéo dài thêm 10 centimét thì tổng là 210 centimét, vì 2 mét cũng như với 200 centimét. ngoài ra, phép cộng 3 mét với 4 mét vuông thường là vô nghĩa vì các đơn vị đo đó không thể so sánh được; đây là dạng suy xét cơ bản trong phân tích thứ nguyên.

✅ Mọi người cũng xem : tặng ví cho bạn gái có ý nghĩa gì

Thực hiện phép cộng

có khả năng bẩm sinh

các nghiên cứu về sự phát triển kỹ năng toán học ở trẻ em bắt đầu từ khoảng những năm 1980 đã khai thác hiện tượng quen mất: trẻ sơ sinh nhìn lâu hơn vào các tình huống bất ngờ.^[22] Một thí nghiệm gieo mầm của Karen Wynn vào nằm 1992 liên quan đến búp bê chuột Mickey bị điều khiển sau màn hình đã chứng minh rằng trẻ sơ sinh năm tháng tuổi dự đoán rằng 1 + 1 bằng 2 và chúng tương đối ngạc nhiên khi một tình huống vật lý dường như đã ngụ ý rằng 1 + 1 bằng 1 hoặc 3. Phát hiện này đã được thường xuyên phòng thí nghiệm xác nhận qua các phương pháp luận khác nhau.^[23] Một thống kê khác năm 1992 với trẻ mới biết đi từ 18 đến 35 tháng tuổi đã thống kê hành vi của chúng bằng cách cho chúng lấy những quả bóng bàn từ một chiếc hộp; trẻ nhỏ nhất trả lời tốt đối với các số nhỏ, trong khi trẻ lớn hơn có khả năng tính được tổng lớn đến 5.^[24]

Ngay cả một số động vật không phải người cũng có thể thực hiện phép cộng một cách Giảm, đặc biệt là linh trưởng. Trong một nghiên cứu năm 1995 dựa trên kết quả nghiên cứu năm 1992 của Wynn (nhưng dùng cà tím thay vì búp bê), khỉ rhesus và khỉ sóc đầu trắng có thể thực hiện phép cộng tương tự như trẻ sơ sinh. Đáng kinh ngạc hơn, sau khi được dạy về ý nghĩa của các chữ số Ả Rập từ 0 đến 4, một con tinh tinh có khả năng tính được tổng của hai số mà không cần phải dạy thêm.^[25] Gần đây, voi châu Á đã có thể thực hiện các phép tính số học cơ bản.^[26]

✅ Mọi người cũng xem : ý nghĩa của thiên nga

Học cộng khi còn nhỏ

Thông thường, kỹ năng thành thạo đầu tiên của trẻ em là đếm. Khi có một vấn để đòi hỏi phải kết hợp hai vật và ba vật lại với nhéu, trẻ nhỏ mô hình hóa nó bằng các vật thể, thường là ngón tay hoặc hình vẽ, sau đó đếm tống số. Theo trình độ tăng dần, chúng học hoặc tìm ra cách “đếm lên”: khi bắt buộc tìm 2 + 3, trẻ bắt đầu đếm từ số ba (bỏ qua hai số đầu) và nói “ba, bốn, năm” (thường đánh dấu bằng ngón tay) và dừng lại tại năm. Đó là cách có vẻ gần như phổ quát mà trẻ có khả năng đơn giản học được từ bạn bè hoặc giáo viên.^[27] Đa số trẻ ra nó một cách độc lập. Với kinh nghiệm càng lớn, trẻ học được cách thực hiện phép cộng nhénh hơn khi khai thác tính giao hoán của phép cộng bằng cách đếm từ số lớn hơn, trong trường hợp này là bỏ qua ba số đầu và đếm “bốn, năm“. Cuối cùng, trẻ bắt đầu ghi nhớ một vài phép cộng cơ sở nhất định (“tách và gộp số”), thông qua kinh nghiệm hoặc học thuộc lòng. Một khi một vài lượng phép toán nhất định đã đi vào bộ nhớ, trẻ bắt đầu rút ra những cái chưa biết từ những cái đã biết. Ví dụ, trẻ được bắt buộc cộng 6 và 7 có khả năng biết rằng 6 + 6 = 12 và Vì vậy 6 + 7 lớn hơn 1 đơn vị hay bằng số 13.^[28] Các phép toán cơ sở như vậy có khả năng được tìm ra rất nhanh và cuối cùng hầu hết học sinh tiểu học dựa vào các phép cộng cơ sở đã được ghi nhớ và suy ra để cộng một cách thuần thục.^[29]

Các quốc gia khác nhau giới thiệu về số và số học ở các độ tuổi khác nhau và có thường xuyên nước dạy phép cộng trước tuổi đi học.^[30] mặc khác, nhìn chung trên toàn thế giới, phép cộng được dạy vào cuối năm đầu tiên của cấp tiểu học.^[31]

Bảng cộng

Trẻ em thường được cho bảng cộng của các cặp số từ 0 đến 9 để nhớ. Biết được bảng đó, có khả năng thực hiện bất kỳ phép cộng nào.

✅ Mọi người cũng xem : gà trống nhảy lên bàn thờ là điềm gì

Hệ thập phân

Điều kiện tiên quyết để thực hiện phép cộng trong hệ thập phân là cần nhớ lại hoặc suy ra 100 “phép cộng cơ sở” một chữ số. Người ta có khả năng nhớ thuộc lòng chúng nhưng các kỹ thuật sau đây có hiệu quả hơn với đa số người:^[32]

• Tính chất giao hoán: Như đã đề cập ở trên, tính chất a + b = b + a làm Giảm số “phép cộng cơ sở” từ 100 xuống còn 55.
• Thêm một hoặc hai: Cộng 1 hoặc 2 là một công việc cơ bản có thể được hoàn thành bằng phép đếm hoặc trực giác.
• Số không: Vì số 0 là đơn vị cộng nên phép cộng số 0 là tầm thường. mặc khác, một vài học sinh khi học về số học được giới thiệu về phép cộng rằng nó là một quá trình luôn luôn làm số hạng tăng lên; các bài toán đố có khả năng giúp việc “loại trừ” số 0 trở nên hợp lý.
• Gấp đôi: Cộng một số với chính nó có liên quan với phép đếm thêm 2 và với phép nhân. Các phép cộng “gấp đôi” tạo thành “cột trụ” cho nhiều phép cộng cơ sở liên quan khác và học sinh thường thấy chúng tương đối dễ hiểu.
• Gần gấp đôi: một số phép cộng chẳng hạn như 6 + 7 = 13 có thể được suy ra nhanh chóng từ phép cộng “gấp đôi” 6 + 6 = 12 bằng cách cộng thêm 1, hoặc từ 7 + 7 = 14 rồi trừ đi 1.
• Năm và mười: Tổng có dạng 5 + x và 10 + x thường được ghi nhớ sớm hơn và có thể sử dụng để suy ra các phép cộng khác. Ví dụ, 6 + 7 = 13 có khả năng được suy ra từ 5 + 7 = 12 bằng cách cộng thêm 1.
• Tạo thành số mười: Một kỹ thuật khác là dùng 10 làm một vài trung gian đối với phép cộng có chứa số 8 hoặc số 9; ví dụ, 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14.

Khi học sinh lớn lên, họ ghi lại càng nhiều phép toán hơn vào bộ nhớ và học cách rút ra các phép toán khác một cách nhanh và đơn giản. Có thường xuyên học sinh không bao giờ ghi lại tất cả các phép toán vào bộ nhớ nhưng vẫn có thể nhénh chóng tìm ra được bất kỳ phép toán cơ bản nào.

Phép nhớ

Cách cơ bản để cộng các số có nhiều chữ số là sắp xếp các số hạng theo chiều dọc và cộng theo từng cột bắt đầu từ cột đơn vị ở bên phải. Nếu một cột lớn hơn 9 thì chữ số còn dư được “nhớ” sang cột tiếp theo. Chẳng hạn, trong phép cộng 27 + 59:

 ¹ 27 + 59 ———— 86 

7 + 9 = 16, viết 6 nhớ 1; 2 + 5 = 7, thêm 1 là 8. Ở đây chữ số 1 là phần nhớ.^[b] Trong một kỹ thuật khác, phép cộng bắt đầu từ cột ở ngoài cùng bên trái; khi đó, phép nhớ trở nên khó coi hơn, nhưng kỹ thuật này vẫn giúp ta có được kết quả gần đúng của tổng nhanh hơn. mặt khác, còn có thường xuyên phương pháp thực hiện phép nhớ khác nữa.

Phân số thập phân

Phân số thập phân có khả năng được cộng theo một dạng khác của quá trình trên.^[33] Đầu tiên, xếp hai phân số thập phân sao cho dấu thập phân ở cùng một vị trí, sau đó thêm các số 0 ở cuối một phân số thập phân ngắn hơn (nếu cần), rồi thực hiện phép cộng tương tự như trên. Dấu thập phân ở kết quả cuối cùng được đặt ngay tại vị trí của nó trong hai số hạng.

Ví dụ, có khả năng thực hiện phép cộng 45,1 + 4,34 như sau:

 4 5, 1 0 + 4, 3 4 ———————————— 4 9, 4 4 

Ký hiệu khoa học

Trong ký hiệu khoa học, các số được viết dưới dạng

x = a ×

10

b

displaystyle x=atimes 10^b

, trong đó

a

displaystyle a

là phần định trị và

10

b

displaystyle 10^b

là phần số mũ. Phép cộng bắt buộc hai số trong ký hiệu khoa học phải có phần số mũ giống nhéu để dễ cộng các phần định trị lại với nhéu.

Ví dụ:

 

2 , 34 ×

10

− 5

+ 5 , 67 ×

10

− 6

= 2 , 34 ×

10

− 5

+

, 567 ×

10

− 5

= 2 , 907 ×

10

− 5

displaystyle 2,34times 10^-5+5,67times 10^-6=2,34times 10^-5+0,567times 10^-5=2,907times 10^-5

✅ Mọi người cũng xem : ý nghĩa của đồng hồ đeo tay

Hệ đếm ngoài hệ thập phân

Phép cộng trong các hệ đếm cơ số khác rất giống với phép cộng thập phân. Ví dụ, xét phép cộng hai số trong hệ nhị phân.^[34] Cộng hai số có một chữ số trong hệ nhị phân tương đối dễ dàng qua một dạng của phép nhớ:

0 + 0 → 0

0 + 1 → 1

1 + 0 → 1

1 + 1 → 10, nhớ 1 (vì 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2¹))

Cộng hai chữ số “1” thì được một chữ số “0” và 1 được thêm vào cột tiếp theo, tương tự như phép cộng hai số nhất định trong hệ thập phân; nếu kết quả bằng hoặc vượt quá tổng giá trị của cơ số (10) thì chữ số bên trái được tăng thêm 1 đơn vị:

5 + 5 → 0, nhớ 1 (vì 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10¹))

7 + 9 → 6, nhớ 1 (vì 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10¹))

Đó còn được gọi là phép nhớ.^[35] Khi kết quả của phép cộng vượt quá tổng giá trị của một chữ số, hồ sơ trước tiên là “nhớ” phần giá trị dư chia cho cơ số (10/10) sang cột bên trái và thêm nó vào tổng giá trị thuộc vị trí tiếp theo. Phép nhớ trong hệ nhị phân được thực hiện tương tự:

 1 1 1 1 1 (phần nhớ) 0 1 1 0 1 + 1 0 1 1 1 ————————————— 1 0 0 1 0 0 = 36 

Trong ví dụ này, có hai số được cộng với nhau là 01101₂ (13₁₀) và 10111₂ (23₁₀). Hàng trên cùng là các bit trong phần nhớ. Bắt đầu từ cột ngoài cùng bên phải: 1 + 1 = 10₂, viết 0 nhớ 1; cột thứ hai: 1 + 0 + 1 = 10₂, viết 0 nhớ 1; cột thứ ba: 1 + 1 + 1 = 11₂, viết 1 nhớ 1. Tiếp tục như vậy thì kết quả cuối cùng là 100100₂ (36₁₀).

Máy tính

Các máy tính analog làm việc trực tiếp với các đại lượng vật lý, do đó cơ chế thực hiện phép cộng của chúng phụ thuộc vào hình thức của phép tính. Bộ cộng cơ học có thể dùng vị trí của các khối trượt làm đại diện cho các số trong phép cộng, trong trường hợp đó, phép cộng được thực hiện nhờ vào một đòn bẩy. Nếu phần được cộng thêm là tốc độ quay của hai trục, chúng có khả năng được cộng bằng vi sai. Một bộ cộng thủy lực có khả năng cộng thêm áp lực vào hai khoang bằng cách khai thác định luật thứ hai của Newton để cân bằng lực trên một cụm pittong. Tình huống thường nhật nhất của một máy tính analog là cộng hai điện áp; tình trạng này có thể được thực hiện gần đúng với một mạng điện trở, nhưng để tốt hơn thì nên dùng một mạch khuếch đại thuật toán.

Phép cộng cũng là nền tảng hoạt động của máy tính kỹ thuật số, trong đó hiệu suất của việc thực hiện phép cộng, đặc biệt là cơ chế nhớ, là một Giảm quan trọng liên quan đến hiệu suất tổng thể.

Bàn tính là một công cụ tính toán đã được dùng nhiều thế kỷ từ trước khi hệ thống chữ số hiện đại được dùng, và ngày nay vẫn thường nhật trong giới thương nhân châu Á, châu Phi; nó xuất hiện ít nhất từ 2700-2300 TCN, khi nó được sử dụng tại Sumer.

Blaise Pascal đã phát minh ra máy tính cơ học vào năm 1642; nó là máy tính cộng đầu tiên. Nó dùng một cơ chế nhớ dựa vào trọng lực. Nó là máy tính cơ học duy nhất vận hành trong thế kỷ 17 và là máy tính kỹ thuật số tự động sớm nhất. Máy tính của Pascal bị giới hạn bởi cơ chế mang, nó buộc các bánh quay chỉ quay một chiều để cộng. Giovanni Poleni đã dựa theo Pascal, xây dựng chiếc máy tính cơ học thứ hai vào năm 1709, nó là một chiếc đồng hồ tính toán làm bằng gỗ, khi được thiết lập có thể tự động nhân hai số.

Phép cộng phân số

a b

+

c d

=

a d + b c

b d

displaystyle frac ab+frac cd=frac ad+bcbd

( b , d ≠

)

displaystyle (b,dneq 0)

Chú thích

1. ^ Addend không phải là từ Latinh; trong tiếng Latinh nó cần phải tiếp tục được chia loại từ như trong numerus addendus (“số được cộng vào”)
2. ^ Cách này trong tiếng Anh được gọi là “carry”, nhưng một vài tác giả cho rằng từ này không thích hợp trong giảng dạy. Van de Walle 2004, tr. 211Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFVan_de_Walle2004 (trợ giúp) gọi nó là từ “lỗi thời và gây hiểu lầm về mặt khái niệm” và Vì vậy nên ưu tiên sử dụng từ “trade”.

Tham khảo

• Phép cộng
• Số học sơ cấp
• Phép toán hai ngôi
• Ký hiệu toán học